Astronomia teoretyczna

[Gość MaciekM]

Witam.

Ostatnimi czasy ostro wzięłem się za teoretyczno-obliczeniową stronę astronomii. Między innymi ze względu na dużo wolnego czasu. Astronomia teoretyczna jest równie ciekawa co praktyczna, dla tego więc też, postanowiłem założyc niniejszy wątek.

Jako, że aktualnie "na topie" jest głównie ta obserwacyjna częśc astronomii, często niektórzy pomijają tą równie ważną częśc jaką jest teoria. W astronomii amatorskiej, głównie tej "rekreacyjnej" jest ona mało istotna. Jednak chciałbym zachęcic was do jej stosowania.

W tym wątku będą się pojawiały różnego typu pytania i zadania dotyczące astronomii teoretyczno-praktycznej. Nie jest to w forma żadnego konkursu. Wątek ma zadanie wspólnej edukacji w dziedzinie astronomii. W końcu astronomiia to w dużej mierze obliczenia, doświadczenia, znajomośc praw fizycznych i oczywiście obserwacje przynoszące wiele cennych informacji. Mimo tytułu wątku ("astgronomia teoretyczna") fajnie by było aby znalazły się tu zadania obserwacyjne, praktyczne (np. obserwując dwie gwiazdy, jedną w pobliżu zenitu drugą blisko horyzontu, wyznacz średnią ekstynkcji na danej wysokości).

Jako, że zakładam ten wątek, pierwszy podam treści pytań.

1. Co wspólnego ze sobą mają "dom zbudowany z komet" i kompleks mgławic w Orionie?

2. Wiedząc, że kometa będąc w odległości od Słońca 3,2JA i w odległości od Ziemi 4JA ma jasnośc całkowitą 13mag, a jej współczynnik aktywności wynosi 4, oblicz jaka będzie jej jasośc w momencie peryhelium, wynoszącym 0,4JA, przy czym odległośc od Ziemi wynosic będzie 1,2JA.

3. Pewna planetoida o masie 4,2 × 10¹⁶ kg, krąży wokół Słońca po orbicie ze średnią odległością 2,86JA. Jej okres obiegu wynosi 4 lata 306 dni 8 godzin, Jest to planetoida, która posiada własnego satelitę naturalnego, który krąży wokół niej po orbicie w odległości średniej 108 km, a jego czas pełnego obiegu wokół ciała macierzystego wynosi 1,54 dnia. Oblicz masę tego księzyca, planetoidy i podaj nazwy obu tych ciał.

Prosiłbym aby w przypadku zadań obliczeniowych podawac całą metodologię jego rozwiązania, gdyż wątek ma miec charakter czysto merytoryczny.

Zapraszam do wspólnego dokształcania się. ;)

MaciekM

[seyfert]

Ostatnio liczyłem fajne zadanko o komecie - mieliśmy podaną odległość peryhelium komety (np. q<1 AU) poruszającej się po orbicie parabolicznej i trzeba było policzyć czas jaki ta kometa spędza wewnątrz orbity Ziemi oraz dla jakiej wartości q ten czas będzie największy..  :)  Mogę skrobnąć krótkie rozwiązanie jeśli kogoś by to interesowało..  :)

[Charon_X]

Aż mi sie fizyka przypomniała z liceum - brrr.... Jak  się tylko pod wzór podstawia to ujdzie, ale z reguły trzeba było te wzory jeszcze przekształcać.

[ignisdei]

Wracamy w ten sposób do lat 80-tych kiedy to nasi starsi koledzy liczyli ręcznie efemerydy obiektów...słyszałem trochę tych opowieści odbierałem je z podziwem!  8)

[Krzysztof_K]

Oj tam zaraz starsi  :D .... może to nie to samo co obliczanie "na piechotę" orbit, ale przy g. zmiennych też kiedyś trzeba było się naliczyć, by coś wyłuskać z tych wszystkich godzin spędzonych na obserwacjach ;)

KK

[Gość MaciekM]

seyfert, każde tego typu zadania są tu mile widziane. :) Jednak fajnie by było, żeby dać czas innym na rozwiązanie zadań. np. 2-3 dni, po tym czasie jeśli nie pojawią się rozwiązania autor pytania sam je rozwiązuje. :)

Co do ręcznych i komputerowych obliczeń. Warto zwrócić uwagę, że komputer to tylko komputer i nie zastąpi nam naszego, naturalnego "Komputera" jakim jest mózg. ;)

P.S. 3 zadanie spaliłem na starcie podając rozwiązanie w pierwszej linijce.  :P Wczoraj byłem w trakcie edytowania kiedy to brat wpadł na kompa i go mi wyłączył.  ::)

podaje zatem jeszcze raz treść zadania:

3. Pewna planetoida krąży wokół Słońca po orbicie ze średnią odległością 2,86JA. Jej okres obiegu wynosi 4 lata 306 dni 8 godzin, Jest to planetoida, która posiada własnego satelitę naturalnego, który krąży wokół niej po orbicie w odległości średniej 108 km, a jego czas pełnego obiegu wokół ciała macierzystego wynosi 1,54 dnia. Oblicz masę tej planetoidy i podaj nazwy obu tych ciał.

Mimo iż zadanie posiada już rozwiązanie, fajnie by było aby ktoś pokusił się o przedstawienie jego rozwiązania. :)

[Gość MaciekM]

Seyfert - ostatnio dumałem nad tym zadaniem które podałeś. Ale ni jak nie mogę tego ugryźć. Nie wiem jak zastosować w przypadku paraboli III prawo keplera - podejrzewam że z niego tu należy skorzystać. Ale tak łatwo się nie poddam i jeszcze coś pokombinuje.  ;D

[Gość MaciekM]

Temat chyba jednak się nie spodobał. Chyba, że zadania są za trudne.  :P W takim razie w najbliższym czasie podam rozwiązania tych zadań.

[seyfert]

Korzystając z wolnej chwili, przedstawię rozwiązanie:

Treść zadania:

Kometa porusza się wokół Słońca po orbicie parabolicznej, której odległość perycentrum wynosi q<1 AU. Dla jakiej wartości q czas, jaki kometa przebywa wewnątrz kołowej orbity Ziemi o półosi wielkiej 1 AU jest maksymalny? Czas podaj w latach.

Rysunek pomocniczy jest na dole (u zawiera w sobie u1 i u2, co można utożsamiać z dwoma chwilami czasowymi t1 i t2).

Rozwiązanie:

Krótko mówiąc interesuje nas to, ile czasu kometa spędzi wewnątrz orbity Ziemi. Wybaczcie mi zapis obliczeń (^ to potęga, sqrt() to pierwiastek). W przyszłości postaram się zapisywać zadania jakoś bardziej estetycznie...

Interesuje nas jakie jest u dla r=1 (1 AU). Musimy skorzystać z postaci r(u), czyli równania paraboli (równanie kwadratowe ze względu na u):

r(u) = 1/2*u^2 + c^2/2*niu, gdzie c^2/2*niu to jest nasze q, czyli odległość w perycentrum

Paraboliczny odpowiednik równiania Keplera: 1/6*u^3 + (c^2/niu)*u = sqrt(niu)* delta_t

Szukamy tego delta_t czy kto woli to może być... t

Z pierwszego równania wyciągamy u:

u = +-sqrt(2-2q)

Podstawiamy u do parabolicznego odpowiednika równania Keplera:

#wcześniej musimy wyznaczyć wartość sqrt(niu) z III prawa Keplera w postaci n^2*a^3=niu, czyli sqrt(niu)=n*a^(3/2)*delta_t#

1/6*(2-2q)^(3/2) + 2q(2-2q)^(1/2)=n*a^(3/2)*delta_t

Lewą strone mnożymy przez 2, bo to jest dla 1-ej gałęzi paraboli, a chcemy mieć obie, i wyciągamy sqrt(2-2q) przed nawias:

2*[sqrt(2-2q)*(1/6*(2-2q))+2q] / n*a^(3/2) = delta_t

podstawiamy a=1 AU oraz n = 2*pi/P, gdzie P to okres (chemy mieć wynik w latach, więc P=1 rok)

delta_t = sqrt(2*(1-q))*(1+5q) / 3*pi [LAT]

Aby znaleźc maksimum trzeba policzyć pochodną (pochodna iloczynu) po q (dt/dq= ... = 0), a druga pochodna powie nam czy to faktycznie jest maksimum (jeśli znak pochodnej będzie dodatni)

Pewnie troche namieszałem, ale mam nadzieję, że ten dość pogmatwany wywód jest do "przełknięcia"...  :(

[seyfert]

Aby policzyć maksimum, musimy policzyć pochodną i zobaczyć, gdzie się zeruje. Mamy iloczyn, więc liczymy pochodną iloczynu według przepisu: pochodna iloczynu = pochodna 1-go składnika * drugi + pochodna 2-go składnika * pierwszy

Może bardziej potęgowo zapisze t:

t = (1/3*pi) * [2*(1-q)^(1/2) * (1+5q)]

pochodna dt/dq = (1/3*pi) * [-(1/2)*2*(1-q)^(-1/2) * (1+5q) + 5*2(1-q)^(1/2)]

z tego dostajemy:

(1/3*pi) * (-10*(1+5q)) = 0

-10*(1+5q) = 0

-1 - 5q = 0  =>  q=1/5 (jest późno i liczyłem na szybkiego, więc mogłem się pomylić - mam nadzieję, że jednak nie)

Drugiej pochodnej już mi się nie chce liczyć...

[Gość MaciekM]

zadanie bardzo ciekawe, męczyłem się nad nim sporo i teraz właśnie się dowiedziałem, że obrałem błędny tok rozumowania.

Więc i ja podam rozwiązanie zadań, podanych przeze mnie.

1. Co wspólnego ze sobą mają "dom zbudowany z komet" i kompleks mgławic w Orionie?

Odkrywcą tego kompleksu mgławic emisyjnych jest Edward Barnard (ur. 16 grudnia 1857 ? zm. 6 lutego 1923, amerykański astronom, głównie zajmujący się astrometrią. Słynie on również, z katalogu obiektów głębokiego nieba w śród których znajduje się większoś mgławic pyłowych i emisyjnych. Katalogowe oznaczenie kompleksu mgławic w orionie nosi SH 2-276, jest ona również zwana od nazwiska odkrywcy Pętlą Barnarda. Jest to obiekt rozciągający się ok 10* na niebie. Edward Emerson Barnard zasłynął również na polu poszukiwań komet. Miał ich na koncie sporo, bo aż 14. W czasach w których żył każde odkrycie komet było wynagradzane pieniężnie (niekiedy też medalami). Pieniądze, które "zarobił" na odkrywaniu komet przeznaczył na dom, który sam żartobliwie nazywał "domem zbudowanym z komet".

2. Wiedząc, że kometa będąc w odległości od Słońca 3,2JA i w odległości od Ziemi 4JA ma jasnośc całkowitą 13mag, a jej współczynnik aktywności wynosi 4, oblicz jaka będzie jej jasośc w momencie peryhelium, wynoszącym 0,4JA, przy czym odległośc od Ziemi wynosic będzie 1,2JA.

Aby obliczyc to zadanie trzeba znac oprócz jasności całkowitej, odległości i współczynnika aktywności jasnoś absolutną. Jasnośc absolutna, to jasnośc obserwowana obiektu znajdującego się 1JA od Słońca i 1JA od obserwatora. Współczynnik aktywności zaś określa jak szybko zachodzą różne reakcje w głowie komety w zalezności od odleglości od Słońca. Czyli, jak szybko kometa jasnieje zbliżając się do Słońca.

Dane:

m1 - 13mag

r1 - 3,2JA

r2 - 0,4JA

D1 - 4JA

D2 - 1,2JA

n - 4

_________

H(0) - ?

m2 - ?

Do całości obliczeń posłużymy się tym wzorem:

m = H(0) + 5 log (D) + 2.5 n log ?

gdzie: "m" jasność obserwowana, "D" odległość od Ziemi, "r" odległość od Słońca, "H(0)" jasność absolutna, "n" współczynnik aktywności.

Naszą szukaną jest jasnośc absolutna - H(0)

Robimy proste przekształcenie wzoru:

H(0) = m1 - 5 log (D1) - 2.5 n log (r1)

H(0) = 13 - 5 log (4) - 10 log (3,2)

H(0) = 13 - 3,01 - 5,05

H(0) = 4,94 mag

teraz wystarczy do podstawowego wzoru pdstawic dane:

m2 = 4,94 + 5 log (1,2) + 10 log (0,4)

m2 = 4,94 + 0,39 + (-3,98)

m2 = ~1,35mag

3. Pewna planetoida krąży wokół Słońca po orbicie ze średnią odległością 2,86JA. Jej okres obiegu wynosi 4 lata 306 dni 8 godzin, Jest to planetoida, która posiada własnego satelitę naturalnego, który krąży wokół niej po orbicie w odległości średniej 108 km, a jego czas pełnego obiegu wokół ciała macierzystego wynosi 1,54 dnia. Oblicz masę tej planetoidy i podaj nazwy obu tych ciał.

Do tego zadanie nalezy użyc pochodnego wzoru z III prawa Keplera.

M1/M2 = (P1/P2)²*(a2/a1)³

gdzie: M1 - Masa pierwszego ciała centralnego, M2 - Masa drugiego ciała centralnego, P1 - Okres obiegu pierwszego ciała orbitującego, P2 - Okres obiegu drugiego ciała orbitującego, a1 - średnia odległoś od ciała centralnego pierwszego obieku orbitującego, a2 - średnia odległoś od ciała centralnego drugiego ciała orbitującego.

Przyjmujemy jako jednostkę masy, ułamek mas Słońca, jako jenostkę obiegu przyjmujemy rok Ziemski, a odległośc wyrażamy w Jednostkach astronomicznych.  

Dane:

M1 - 1MS (Masa Słońca)

P1 - 4,8387

P2 -0,0042

a1 - 2,86JA

a2 - 7,21*10^-7

odstawiając do wzoru wyliczamy:

M2 = (4,8387 : 0,0042)² * (7,21*10^-7 : 2,86)³

M2 = (1152,07)² * (2,52*10^-7)³

M2 = 1327265,285 * (1,6*10^-20)

M2 = 2,124*10^-14 Masy Słońca.

Masa Słońca = 1,989*10³⁰Kg

M2₁ = MS * M2

M2 = (1,989*10³⁰) * (2,124*10^-14)

M2 = ~4,23¹⁶Kg

[Gość MaciekM]

kurcze... zauważyłem, że wynik podniosłem do 16-stej potęgi.  :o Miało być oczywiście 4,23*10¹⁶  :P

Zapomniałem tez podać jak nazywa się owa planetoida i jej satelita. Otóż, rzecz jasna chodzi tu o planetoidę (243) Ida i jej naturalnego satelitę Daktyla.

Dane do zadania wziąłem z wikipedii:

http://pl.wikipedia.org/wiki/243_Ida

http://pl.wikipedia.org/wiki/Daktyl_%28ksi%C4%99%C5%BCyc%29

Co ciekawe, gdy liczyłem to zadanie uporczywie wychodził mi wynik w kilogramach o "3 zera" za duży. Jak się potem okazało źródło z którego korzystałem ("Astronomia ogólna" - Eugeniusz Rybka) podawała masę Słońca 1989*10³⁰Kg, przy czym powinna ona wynosić 1,989*10³⁰Kg, jak widać zabrakło przecinka.  ;)

Widzę, że temat nie cieszy się zbytnim zainteresowaniem. Wrzucał więc będę prostsze zadania na zachętę.

Mam jedno dość ciekawe zadanie w którym nie ma dużo liczenia, lecz trzeba je wziąć "na chłopski rozum". ;) Oto jego treść:

Przyjmijmy, że Transplutonowa planeta istnieje. Podaj jaka najprawdopodobniej może być jej średnia odległość od Słońca i jaki byłby jej okres obiegu. Podaj dla czego mogła ona zostać do tej pory nieodkryta?

mam nadzieje, że ktoś będzie chętny pokusić się o rozwiązanie tego zadanka.  ;)

POWODZENIA! :)

[Gość MaciekM]

Chyba będę musiał się przyzwyczaić do rozwiązywania własnych zadań w tym wątku.  :P

No to nic... na zachętę podam podpowiedź.

Titius, Bode i Kepler. ;)